可交换的线性变换#
这篇文章讨论可交换的线性变换, 即对于线性变换 \(A\), \(B\), 有 \(AB = BA\).
引理#
对于多项式 \(f\), \(f(A)\) 与 \(B\) 可交换的充要条件是 \(A\), \(B\) 可交换.
充要条件#
\(\mathbb{C}\) 上线性变换 \(A\), \(B\) 可交换 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的每个广义特征空间 \(G(\lambda)\) 都是 \(B\) 的不变子空间
证明:
充分性: 任取 \(A\) 在重数 \(m\) 的广义特征空间 \(G(\lambda)\), \(\forall \mathbf{v} \in G(\lambda); B \mathbf{v} \in G(\lambda)\). 于是 \(B (A - \lambda I)^m \mathbf{v} = B \; \mathbf{0} = \mathbf{0}\), \((A - \lambda I)^m B \mathbf{v} = (A - \lambda I)^m (B \mathbf{v}) = \mathbf{0}\). 注意到 \((A - \lambda I)^m\) 是关于 \(A\) 的多项式, 由此可得 \(G(\lambda)\) 上 \(A\) 与 \(B\) 可交换.将复数域上向量空间 \(V\) 分解为广义特征空间的直和 \(V = G(\lambda_1) \oplus G(\lambda_2) \oplus \dots \oplus G(\lambda_r)\), 其中 \(G(\lambda_i)\) 是对应于特征值 \(\lambda_i\) 的广义特征空间. 任取 \(\mathbf{u} \in V\), \(\mathbf{u} = \sum_i k_i \mathbf{v}_i\), 其中 \(\mathbf{v}_i \in G(\lambda_i)\). 对于任意 \(\mathbf{v}_i\) 都有 \(A\), \(B\) 可交换, 故对于其线性组合 \(\mathbf{u}\) 也可交换.
综上, \(A\), \(B\) 在 \(V\) 上可交换.
必要性: 若 \(A\), \(B\) 可交换, 则对任意 \(\mathbf{v} \in G(\lambda)\), 都有 \((A - \lambda I)^m (B \mathbf{v}) = B ((A - \lambda I)^m \mathbf{v}) = B \; \mathbf{0} = \mathbf{0}\). 故 \(B \mathbf{v} \in G(\lambda)\), 即 \(G(\lambda)\) 是 \(B\) 的不变子空间. \(\blacksquare\)
关于广义特征空间, 或根子空间, 在 若尔当标准型 中有充分讨论. 简单地说,
对于线性变换 \(A\) 的特征值 \(\lambda\), 满足 \(\mathbf{v} \ne 0\) 且存在 \(j \in \mathbb{N}_+\) 使 \((A - \lambda I)^j \, \mathbf{v} = 0\), 则称 \(\mathbf{v}\) 是相应于 \(\lambda\) 的广义特征向量.
由相应于 \(\lambda\) 的广义特征向量集张成的空间称广义特征空间 \(G(\lambda)\), 又称根子空间.
可对角化的情况#
对于可对角化的线性变换, 例如厄米变换, 广义特征空间与特征空间等价, 于是有
可对角化的线性变换 \(A\), \(B\) 可交换
\(\Leftrightarrow\) \(A\) 的每个特征空间 \(E(\lambda)\) 都是 \(B\) 的不变子空间
\(\Leftrightarrow\) 存在一组基, 使 \(A\), \(B\) 在这组基下对角化
\(\Leftrightarrow\) \(A\), \(B\) 能够被同时对角化
必要条件#
证明: 因为 \(A\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的线性变换, 则其特征多项式必有根, 即至少有一个特征值 \(\lambda\). 记这一特征值对应特征子空间为 \(E(\lambda)\).任取 \(\mathbf{v} \in E(\lambda)\), \(A (B \mathbf{v}) = B (A \mathbf{v}) = B \; \lambda \mathbf{v} = \lambda (B \mathbf{v})\), 所以 \(E(\lambda)\) 是 \(B\) 不变的.
考虑 \(B|_{E(\lambda)}\) 作为 \(\mathbb{C}\) 上线性空间 \(E(\lambda)\) 的变换, 其必有特征值 \(\mu\). 此时存在 \(\mathbf{u} \in E(\lambda)\), 有 \(B \mathbf{u} = \mu \mathbf{u}\); 又 \(A \mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}\), 故 \(\mathbf{u}\) 是 \(A\), \(B\) 的公共特征向量. \(\blacksquare\)
\(\mathbb{C}\) 上线性变换 \(A\), \(B\) 可交换, 若 \(A\) 有 \(s\) 个不同的特征值, 那么 \(A\), \(B\) 至少有 \(s\) 个线性无关的公共特征向量.
证明: 对于每个特征值 \(\lambda_i\), \(1 \le i \le s\), 我们知道任意两个特征空间 \(E(\lambda_i) \cap E(\lambda_j) = 0\). 从 上个定理 的证明过程中可以看出, 每个特征值都有一个公共特征向量, 并且相应于不同特征值的特征向量线性无关, 于是定理得证. \(\blacksquare\)