三维空间中旋转的描述#
三维空间中所有正交且行列式为 \(1\) 的矩阵组成一个群, 称为 特殊正交群 \(SO(3)\), 其中的每个元素都代表一种三维空间中的旋转.
另外, \(SO(3)\) 也是一个 李群, 它的 李代数 \(\mathfrak{so}(3)\) 中的元素是轴角向量的外积矩阵.
本篇文章的工作是推导 \(SO(3)\), \(\mathfrak{so}(3)\) 与 \(\mathbb{R}^3\) 中元素的互相转换.
引理#
$$\boxed{ [\mathbf{\omega}]_\times^2 = \mathbf{\omega} \mathbf{\omega}^T - \|\mathbf{\omega}\|^2 I }$$$$\begin{align*} ([\mathbf{\omega}]_\times^2)_{ij} &= \varepsilon_{imk} \omega_m ~ \varepsilon_{knj} \omega_n \\ &= \varepsilon_{kim} \varepsilon_{knj} ~ \omega_m \omega_n \\ &= (\delta_{in} \delta_{mj} - \delta_{ij} \delta_{mn}) \omega_m \omega_n \\ &= \omega_i \omega_j - \delta_{ij} \omega_m \omega_m \\ &= (\mathbf{\omega} \mathbf{\omega}^T - \|\mathbf{\omega}\|^2 I)_{ij} \end{align*}$$$$\boxed{ [\mathbf{\omega}]_\times^3 = - \|\mathbf{\omega}\|^2 [\mathbf{\omega}]_\times }$$$$\begin{align*} [\mathbf{\omega}]_\times^3 &= (\mathbf{\omega} \mathbf{\omega}^T - \|\mathbf{\omega}\|^2 I) [\mathbf{\omega}]_\times \\ &= \mathbf{\omega} \mathbf{\omega}^T [\mathbf{\omega}]_\times - \|\mathbf{\omega}\|^2 [\mathbf{\omega}]_\times \\ &= \mathbf{\omega} ([\mathbf{\omega}]_\times \mathbf{\omega})^T - \|\mathbf{\omega}\|^2 [\mathbf{\omega}]_\times \\ &= \mathbf{\omega} (\mathbf{\omega} \times \mathbf{\omega})^T - \|\mathbf{\omega}\|^2 [\mathbf{\omega}]_\times \\ &= - \|\mathbf{\omega}\|^2 [\mathbf{\omega}]_\times \end{align*}$$
$$\boxed{ \mathrm{rank} [\mathbf{\omega}]_\times = 2 }$$
其中 \(\mathbf{\omega} \in \mathbb{R}^3 \backslash \{0\}\).
$$\begin{align*} \mathrm{rank} ~ [\mathbf{\omega}]_\times = 2 & \Leftrightarrow \mathrm{dim} ~ \mathrm{Ker} ~ [\mathbf{\omega}]_\times = 1 \\ & \Leftrightarrow [\mathbf{\omega}]_\times \mathbf{x} = 0 ~ \text{解集的维数为} ~ 1 \end{align*}$$考察上述方程:
$$\begin{align*} [\mathbf{\omega}]_\times \mathbf{x} = 0 & \Leftrightarrow \mathbf{\omega} \times \mathbf{x} = 0 \\ & \Leftrightarrow \| \mathbf{\omega} \times \mathbf{x} \| = 0 \\ & \Leftrightarrow \| \mathbf{\omega} \| \| \mathbf{x} \| \sin{\theta} = 0 \\ & \Leftrightarrow \sin{\theta} = 0 \\ & \Leftrightarrow \theta \in \pi \mathbb{Z} \\ & \Leftrightarrow \mathbf{x} \parallel \mathbf{\omega} \\ & \Leftrightarrow \mathbf{x} \in \left< \mathbf{\omega} \right> \end{align*}$$显然 \(\mathrm{dim} \left< \mathbf{\omega} \right> = 1\), 原式得证.
正文#
$$\boxed{\begin{align*} \wedge: \mathbb{R}^3 &\rightarrow \mathfrak{so}(3) \\ \mathbf{\omega} &\mapsto [\mathbf{\omega}]_\times \end{align*}}$$\(\wedge\) 将向量映射为反对称矩阵, 并且要求:
$$\forall \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3, \mathbf{\omega} \times \mathbf{v} = \mathbf{\omega}^\wedge \mathbf{v}$$这也是记号 \([\cdot]_\times\) 的用处.
我们知道 \((\mathbf{\omega} \times \mathbf{v})_i = \varepsilon_{ijk} \omega_j v_k\), 进而 \((\mathbf{\omega}^\wedge \mathbf{v})_i = (\varepsilon_{ijk} \omega_j) v_k\). 于是 \((\mathbf{\omega}^\wedge)_{ik} = \varepsilon_{ijk} \omega_j\), 即
$$(\mathbf{\omega}^\wedge)_{ij} = \varepsilon_{ikj} \omega_k$$$$\boxed{\begin{align*} \mathrm{exp}: \mathfrak{so}(3) &\rightarrow SO(3) \\ \theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times &\mapsto R \end{align*}}$$
\(\mathrm{exp}\) 将李代数中的元素映射为对应李群中的元素. \(R = \exp{\theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times} = \mathrm{e}^{\theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times}\), 且仍按 \(\mathrm{exp}\) 的级数定义. 于是有
$$\begin{align*} R &= \mathrm{e}^{\theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times} \\ &= I + \theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times + \frac{1}{2!} \theta^2 [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times^2 + \frac{1}{3!} \theta^3 [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times^3 + \cdots \\ &= I + (\theta - \frac{1}{3!} \theta^3 + \cdots) [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times + (\frac{1}{2!} \theta^2 - \frac{1}{4!} \theta^4 + \cdots) [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times^2 \\ &= I + \sin{\theta} [\mathbf{\omega}]_\times + (1-\cos{\theta}) [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times^2 \\ &= \cos{\theta} I + (1-\cos{\theta}) \hat{\mathbf{\omega}} \hat{\mathbf{\omega}}^T + \sin{\theta} [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times \end{align*}$$另外, 对于 \([\mathbf{\omega}]_\times = \theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times\), 其中 \(\hat{\mathbf{\omega}}\) 为单位向量, 我们有办法直接从 \([\mathbf{\omega}]_\times\) 提取 \(\theta\).
注意到 \([\mathbf{\omega}]_\times^2 = \mathbf{\omega} \mathbf{\omega}^T - \|\mathbf{\omega}\|^2 I\), 两边取迹, 有
$$\begin{align*} \mathrm{tr} [\mathbf{\omega}]_\times^2 &= \mathrm{tr} (\mathbf{\omega} \mathbf{\omega}^T - \|\mathbf{\omega}\|^2 I) \\ &= \mathrm{tr} \mathbf{\omega}^T \mathbf{\omega} - \|\mathbf{\omega}\|^2 \mathrm{tr} I \\ &= \|\mathbf{\omega}\|^2 - 3 \|\mathbf{\omega}\|^2 \\ &= -2 \|\mathbf{\omega}\|^2 \end{align*}$$如此, \(\|\mathbf{\omega}\| = \sqrt{-\frac{1}{2} \mathrm{tr} [\mathbf{\omega}]_\times^2}\).
$$\boxed{\begin{align*} \mathrm{log}: SO(3) &\rightarrow \mathfrak{so}(3) \\ R &\mapsto \theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times \end{align*}}$$
首先, 确定转角 \(\theta\). 注意到对 \(R = \cos{\theta} I + (1-\cos{\theta}) \hat{\mathbf{\omega}} \hat{\mathbf{\omega}}^T + \sin{\theta} [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times\) 两端取迹, 可得
$$\begin{align*} \mathrm{tr} R &= \mathrm{tr} (\cos{\theta} I) + \mathrm{tr} ((1-\cos{\theta}) \hat{\mathbf{\omega}} \hat{\mathbf{\omega}}^T) + \mathrm{tr} (\sin{\theta} [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times) \\ &= 3\cos{\theta} + (1-\cos{\theta}) \mathrm{tr} (\hat{\mathbf{\omega}}^T \hat{\mathbf{\omega}}) + 0 \\ &= 3\cos{\theta} + (1-\cos{\theta}) \mathrm{tr} \| \hat{\mathbf{\omega}} \|^2 \\ &= 2\cos{\theta} + 1 \end{align*}$$因此 \(\cos{\theta} = \frac{\mathrm{tr} R - 1}{2}\).
容易发现, \(R^T = R^{-1} = \cos{(-\theta)} I + (1-\cos{(-\theta)}) \hat{\mathbf{\omega}} \hat{\mathbf{\omega}}^T + \sin{(-\theta)} [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times = \cos{\theta} I + (1-\cos{\theta}) \hat{\mathbf{\omega}} \hat{\mathbf{\omega}}^T - \sin{\theta} [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times\). 与 \(R\) 作差, 得 \(R-R^T = 2\sin{\theta} [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times\). 于是 \([\hat{\mathbf{\omega}}]_\times = \frac{1}{2\sin{\theta}} (R-R^T)\).
这里指出, \(\mathrm{arccos}\) 的值域为 \([0,\pi]\), 貌似会不能覆盖全部 \([0, 2\pi)\) 范围. 事实上, 角度有 \(\theta\) 与 \(2\pi-\theta\) (或 \(-\theta\)) 两种可能, 后者不能从 \(\mathrm{arccos}\) 得到. 但当实际角度为后者时, \([\hat{\mathbf{\omega}}]_\times\) 也多出一个负号. 因此最终角度为 \((-\theta) (-[\hat{\mathbf{\omega}}]_\times) = \theta [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times\), 与实际一致.
特殊地, 当 \(\theta = \pi\) 时, 分母为 \(0\), 出现奇异解. 此时发现 \(R = I + \sin{\pi} [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times + (1-\cos{\pi}) [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times^2 = I + 2 [\hat{\mathbf{\omega}}]_\times^2\), 所以 \([\hat{\mathbf{\omega}}]_\times^2 = \frac{1}{2} (R - I)\).
注意到 \([\mathbf{\omega}]_\times^2 \mathbf{\omega} = [\mathbf{\omega}]_\times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{\omega}) = 0\), 因此 \(\mathbf{\omega} \in \mathrm{Ker} [\mathbf{\omega}]_\times^2\). 又有 \(\mathrm{rank} [\mathbf{\omega}]_\times^2 = \mathrm{rank} ([\mathbf{\omega}]_\times^T)^T [\mathbf{\omega}]_\times = \mathrm{rank} [\mathbf{\omega}]_\times^T [\mathbf{\omega}]_\times = \mathrm{rank} [\mathbf{\omega}]_\times = 2\), 可以得出 \(\mathrm{dim} ~ \mathrm{Ker} [\mathbf{\omega}]_\times^2 = 3 - \mathrm{rank} [\mathbf{\omega}]_\times^2 = 1\).
所以对于 \(\theta = \pi\), \(\hat{\mathbf{\omega}} \in \mathrm{Ker} (R - I)\). 不必担心出现多解.
杂七杂八#
$$\boxed{ R [\mathbf{\omega}]_\times R^T = [R \mathbf{\omega}]_\times }$$首先, 不加证明地直接给出: 对于三维空间中按右手排列的一组规范正交基 \(\mathbf{e}_i\), \(i = 1,2,3\), 有 \(\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j = \varepsilon_{ijk} ~ \mathbf{e}_k\).
$$\begin{align*} (R [\mathbf{\omega}]_\times R^T)_{ij} &= R_{im} ~ \varepsilon_{mkn} \omega_k ~ R_{jn} \\ &= \varepsilon_{mkn} ~ (R_i)_m ~ \omega_k ~ (R_j)_n \\ &= \mathbf{R}_i \cdot (\mathbf{\omega} \times \mathbf{R}_j) \\ &= - \mathbf{\omega} \cdot (\mathbf{R}_i \times \mathbf{R}_j) \\ &= - \mathbf{\omega} \cdot \varepsilon_{ijk} \mathbf{R}_k \\ &= \varepsilon_{ikj} \mathbf{R}_k \cdot \mathbf{\omega} \\ &= \varepsilon_{ikj} ~ R_{kn} \omega_n \\ &= \varepsilon_{ikj} ~ (R \mathbf{\omega})_k \\ &= ([R \mathbf{\omega}]_\times)_{ij} \end{align*}$$其中 \(\mathbf{R_i}\) 表示 \(R\) 的第 \(i\) 个列向量. 需要指出, 对于 \(R \in SO(3)\), 因为 \(\mathrm{det} R = 1\), 所以列向量 \(\mathbf{R_i}\), \(i = 1,2,3\) 是以右手坐标排列的. 这也是使用引理的必要条件.
资源#
根据本文编写的代码可以在此处找到 [Web].